पीएसडी का भौतिक महत्व क्या है और डीएफटी के परिमाण को देखें तो इसका व्यावहारिक लाभ क्या है?

मैं वर्तमान में PSD के भौतिक महत्व को समझने के बजाय सिग्नल के डीएफटी की गणना करने और आयाम को देखने के लिए संघर्ष कर रहा हूं। मुझे लगता है कि मैं संघर्ष कर रहा हूं क्योंकि मुझे पीएसडी का कोई वास्तविक व्यावहारिक उपयोग नहीं मिला है जो इसे डीएफटी पहले से ही जो कर सकता है उससे अलग करता हो। मेरी उलझन इस बात से और बढ़ गई है कि PSD का अनुमान DFT के परिमाण का वर्ग करके लगाया जा सकता है। तो मेरे लिए, PSD बस DFT का एक स्केल्ड संस्करण है, लेकिन भौतिक रूप से भिन्न किसी भी चीज़ का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

मैं अक्सर सुनता हूं कि PSD का उपयोग उन यादृच्छिक प्रक्रियाओं के लिए किया जाना चाहिए जिनका स्पेक्ट्रा निरंतर है। अर्थात्, ऐसे सिग्नलों पर जिनमें एक-दूसरे के करीब कई अलग-अलग आवृत्तियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, एक सिग्नल के बजाय जिसमें 1Hz आवृत्ति घटक है। यादृच्छिक सिग्नल की आवृत्तियाँ 0.99 हर्ट्ज, 1.0 हर्ट्ज, 1.01 हर्ट्ज हो सकती हैं...

लेकिन इसकी परवाह किए बिना, यदि आपको "शुद्ध 1 हर्ट्ज सिग्नल" बनाम "के नमूने" पर डीएफटी की गणना करनी है शोर 0.99, 1, 1.0 हर्ट्ज सिग्नल", ऐसा लगता है जैसे डीएफटी आपको वह सब कुछ बताएगा जो आपको जानना आवश्यक है: अधिकांश सिग्नल शक्ति/परिमाण लगभग पर है 1हर्ट्ज।

तो मेरे लिए - ऐसा लगता है कि पीएसडी और डीएफटी गणितीय रूप से समान हैं, लेकिन कुछ भौतिक वैचारिक अर्थ होने चाहिए जो मुझे याद आ रहे हैं।

मेरे उत्तर में कुछ विवरण हैं प्रश्न के लिए मैं पावर स्पेक्ट्रम घनत्व (पीएसडी) से कौन सी जानकारी प्राप्त कर सकता हूं जो मैं सिग्नल के फूरियर ट्रांसफॉर्म से प्राप्त नहीं कर सकता? आपको शायद इसकी जांच करनी चाहिए।

डीएफटी जटिल आवृत्ति के बारे में केवल एक ऑर्थोबैसिस विस्तार है। इस प्रकार, यह अनुमान देता है कि प्रत्येक आवृत्ति "कितनी" मौजूद है, या आवृत्ति $\frac{2\pi k}{N}$ और शून्य-चरण ऑफसेट पर साइनसॉइड के समान सिग्नल कितना समान है। दूसरी ओर PSD में एसेंबल ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन की वर्णक्रमीय सामग्री शामिल है। दूसरे शब्दों में, यह यादृच्छिक प्रक्रिया की प्राप्ति की वर्णक्रमीय सामग्री का अनुमान नहीं लगाता है, बल्कि अंतर्निहित यादृच्छिक प्रक्रिया की वर्णक्रमीय सामग्री का अनुमान लगाने का प्रयास करता है जिसने सीमित लंबाई की प्राप्ति उत्पन्न की है।

मुझे लगता है कि मैं' मैं संघर्ष कर रहा हूं क्योंकि मुझे पीएसडी का कोई वास्तविक व्यावहारिक उपयोग नहीं मिला है जो इसे डीएफटी पहले से ही जो कर सकता है उससे अलग करता हो

पीएसडी अनुमान के लिए बहुत सारे व्यावहारिक उपयोग हैं। चरणबद्ध सरणी प्रणालियों में नैरोबैंड डीओए अनुमानक आमतौर पर PSD अनुमानकों के साथ कार्यान्वित किए जाते हैं (क्योंकि वे निकट से संबंधित हैं)। पीएसडी वीनर फिल्टर के लिए महत्वपूर्ण है। ऐसे मामले भी हैं जहां हमें इस बात का अंदाजा हो सकता है कि हम जिस सिग्नल का विश्लेषण कर रहे हैं उसकी अंतर्निहित संरचना क्या है, उदाहरण के लिए, शेयर बाजार डेटा को एक ऑटोरेग्रेसिव प्रक्रिया द्वारा अच्छी तरह से वर्णित किया जा सकता है। हमारे पास PSD अनुमानक हैं जो इस जानकारी का उपयोग अधिक सटीक वर्णक्रमीय अनुमान प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं जब मॉडल डेटा से अच्छी तरह मेल खाता है।

मेरी उलझन को और बढ़ाने वाली बात यह है कि PSD का अनुमान परिमाण का वर्ग करके लगाया जा सकता है डीएफटी

यहां मुख्य शब्द "अनुमानित" है। याद रखें, हम अंतर्निहित यादृच्छिक प्रक्रिया की वर्णक्रमीय सामग्री का अनुमान लगाने का प्रयास कर रहे हैं। एक यादृच्छिक संकेत में, प्रत्येक नमूना एक यादृच्छिक चर होता है। प्रत्येक डीएफटी बिन स्केल फैक्टर $e^{j\frac{2\pi kn}{N}}$ के साथ इन यादृच्छिक चर पर एक सुसंगत योग है, जिसका आउटपुट भी एक यादृच्छिक चर है। विशेष रूप से, प्रत्येक डीएफटी बिन एक असम्बद्ध रूप से असंबंधित यादृच्छिक चर है क्योंकि परिवर्तन एक ऑर्थोनॉर्मल है। इसलिए, एक यादृच्छिक प्रक्रिया की एक सीमित प्राप्ति का डीएफटी प्राप्ति से प्राप्ति तक भिन्न होगा। सिद्धांत रूप में, PSD अपरिवर्तित रहना चाहिए। डीएफटी का परिमाण वर्ग, जिसे "पेरियोडोग्राम" (स्केल फैक्टर के भीतर) के रूप में भी जाना जाता है, एक असंगत अनुमानक है, जिसका अर्थ है कि यह कभी भी वास्तविक PSD में परिवर्तित नहीं होगा (देखें नमूना स्पेक्ट्रम को असंगत क्यों माना जाता है?)। ऐसा इसलिए है, क्योंकि डीएफटी का आउटपुट एक असम्बद्ध रूप से असंबद्ध यादृच्छिक चर है, इसलिए पीरियोडोग्राम का आउटपुट भी वैसा ही है।

मैं अक्सर सुनता हूं कि PSD का उपयोग उन यादृच्छिक प्रक्रियाओं के लिए किया जाना चाहिए जिनका स्पेक्ट्रा निरंतर है

यह इतना नहीं है कि आप "शौ" करें